So spielst du Große und abklingende Schwingungen
- Wähle einen Versuch und lies auf der Karte das Pendel, seinen Startausschlag und den Anteil, den jede Schwingung behält.
- Große Ausschläge dauern länger als T₀ = 2π·√(L ÷ g). Abklingende Schwingungen schrumpfen jede Schwingung um denselben Faktor.
- Gib deine Vorhersage ein und tippe auf Start. Ein graues ideales Pendel schwingt neben dem echten.
- Sieh zu, wie das echte Pendel hinter dem idealen zurückfällt oder sein Ausschlag schrumpft, und vergleiche mit deinen orangefarbenen Marken.
Was lässt die Pendelformel weg?
T = 2π·√(L ÷ g) beruht auf der Annahme, dass die Kraft, die das Pendel zur Mitte zurückzieht, im gleichen Maß wie der Winkel wächst. Für kleine Ausschläge stimmt das, aber die echte Kraft wächst wie sin θ, das bei großen Winkeln zurückbleibt, also dauern weite Schwingungen länger: etwa 1,7 % bei 30°, 7 % bei 60° und 18 % bei 90°. Ein Uhrpendel, das weiter ausschlägt, ginge nach, darum begrenzen Uhrmacher den Ausschlag auf wenige Grad. Echte Schwingungen klingen außerdem ab, weil Luft und Reibung jedes Mal etwas Energie nehmen. Ein einfaches Modell, das zu vielen echten Schwingern passt: Jede Schwingung behält denselben Anteil ihres Ausschlags, etwa 90 %. Dann schrumpft der Ausschlag durch Multiplizieren, nicht durch Abziehen: 20°, 18°, 16,2° und so weiter, und er halbiert sich nach derselben Zahl von Schwingungen, egal wie groß er anfangs ist, wie eine radioaktive Halbwertszeit. Weil die Energie mit dem Quadrat des Ausschlags geht, heißt 90 % des Ausschlags behalten nur 81 % der Energie behalten. Stoßdämpfer im Auto lassen das Federn absichtlich abklingen; eine gute Glocke oder Stimmgabel klingt so langsam wie möglich ab.
Ein fokussiertes Lernmodell
Große Ausschläge werden exakt aus θ'' = −(g ÷ L)·sin θ berechnet, ohne Reibung, und laufen drei oder vier Schwingungen lang in Echtzeit. Die abklingenden Schwingungen behalten pro voller Schwingung 90 % ihres Ausschlags und schrumpfen gleichmäßig nach θ = θ₀·0,9ⁿ·cos(2π·t ÷ T₀); sie laufen zwei- oder dreimal so schnell. Das Pendel ist 1 m lang und maßstäblich; das graue ideale Pendel folgt der Formel für kleine Ausschläge. Antworten auf 2 % genau sind richtig. g = 9,8 m/s².