Come si gioca a Oscillazioni ampie e smorzate
- Scegli una prova e leggi il pendolo, la sua ampiezza iniziale e la parte che conserva a ogni oscillazione sulla scheda.
- Le oscillazioni ampie durano più di T₀ = 2π·√(L ÷ g). Le oscillazioni smorzate si riducono dello stesso fattore a ogni oscillazione.
- Scrivi la tua previsione e premi Avvia. Un pendolo ideale grigio oscilla accanto a quello reale.
- Guarda il pendolo reale restare indietro rispetto a quello ideale, o la sua ampiezza ridursi, e confronta con i tuoi segni arancioni.
Che cosa trascura la formula del pendolo?
T = 2π·√(L ÷ g) deriva dall'ipotesi che la forza di richiamo verso il centro cresca di pari passo con l'angolo. È vero per piccole oscillazioni, ma la forza reale cresce come sin θ, che resta indietro ad angoli grandi, quindi le oscillazioni larghe durano di più: circa l'1,7% in più a 30°, il 7% a 60° e il 18% a 90°. Un pendolo da orologio che oscillasse più largo andrebbe indietro: per questo gli orologiai limitano l'oscillazione a pochi gradi. Le oscillazioni reali inoltre si smorzano, perché aria e attrito portano via un po' di energia ogni volta. Un modello semplice che descrive molti oscillatori reali è che ogni oscillazione conservi la stessa frazione della sua ampiezza, per esempio il 90%. Allora l'ampiezza si riduce moltiplicando, non sottraendo: 20°, 18°, 16,2° e così via, e si dimezza dopo lo stesso numero di oscillazioni qualunque sia l'ampiezza di partenza, come il tempo di dimezzamento radioattivo. Poiché l'energia va con il quadrato dell'ampiezza, conservare il 90% dell'ampiezza significa conservare solo l'81% dell'energia. Gli ammortizzatori di un'auto smorzano apposta il sobbalzo; una buona campana o un diapason si smorzano il più lentamente possibile.
Un modello di apprendimento mirato
Le oscillazioni ampie sono calcolate esattamente da θ'' = −(g ÷ L)·sin θ, senza attrito, e durano tre o quattro oscillazioni in tempo reale. Le oscillazioni smorzate conservano il 90% della loro ampiezza a ogni oscillazione completa, riducendosi gradualmente come θ = θ₀·0,9ⁿ·cos(2π·t ÷ T₀), e si riproducono due o tre volte più veloci. Il pendolo è lungo 1 m ed è disegnato in scala; il pendolo ideale grigio segue la formula delle piccole oscillazioni. Le risposte entro il 2% sono giuste. g = 9,8 m/s².