Comment jouer à Grandes oscillations et amortissement
- Choisis un essai et lis sur la carte le pendule, son amplitude de départ et la part conservée à chaque oscillation.
- Les grandes oscillations durent plus longtemps que T₀ = 2π·√(L ÷ g). Les oscillations amorties diminuent du même facteur à chaque oscillation.
- Tape ta prédiction et appuie sur Démarrer. Un pendule idéal gris oscille à côté du vrai.
- Regarde le vrai pendule prendre du retard sur l'idéal, ou son amplitude diminuer, et compare avec tes repères orange.
Qu'est-ce que la formule du pendule oublie ?
T = 2π·√(L ÷ g) vient de l'hypothèse que la force qui ramène le pendule vers le milieu augmente comme l'angle. C'est vrai pour les petites oscillations, mais la vraie force augmente comme sin θ, qui prend du retard aux grands angles, donc les oscillations larges durent plus longtemps : environ 1,7 % de plus à 30°, 7 % à 60° et 18 % à 90°. Un pendule d'horloge qui oscillerait plus large retarderait, c'est pourquoi les horlogers limitent l'oscillation à quelques degrés. Les vraies oscillations s'amortissent aussi, car l'air et les frottements prennent un peu d'énergie à chaque fois. Un modèle simple qui convient à beaucoup d'oscillateurs réels est que chaque oscillation garde la même part de son amplitude, par exemple 90 %. L'amplitude diminue alors par multiplication, pas par soustraction : 20°, 18°, 16,2°, et ainsi de suite, et elle est divisée par deux après le même nombre d'oscillations quelle que soit l'amplitude de départ, comme une demi-vie radioactive. Comme l'énergie varie comme le carré de l'amplitude, garder 90 % de l'amplitude, c'est ne garder que 81 % de l'énergie. Les amortisseurs d'une voiture éteignent le rebond exprès ; une bonne cloche ou un diapason s'amortissent le plus lentement possible.
Un modèle d'apprentissage ciblé
Les grandes oscillations sont calculées exactement à partir de θ'' = −(g ÷ L)·sin θ, sans frottement, et durent trois ou quatre oscillations en temps réel. Les oscillations amorties gardent 90 % de leur amplitude à chaque oscillation complète, en diminuant continûment selon θ = θ₀·0,9ⁿ·cos(2π·t ÷ T₀), et sont montrées deux ou trois fois plus vite. Le pendule mesure 1 m et est à l'échelle ; le pendule idéal gris suit la formule des petites oscillations. Une réponse à 2 % près est juste. g = 9,8 m/s².